【雑学】いまだに悶々とするモンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題という、確率論の問題があります。この問題は、確率が時に直感と反することを示したことで、一時期話題になりました。

モンティ・ホール問題とは次のようなものです。

モンティ・ホール問題

3つの選択肢があり、そのうちアタリは1つです。プレーヤーが選択肢をひとつ選んだとき、司会のモンティは、残りの選択肢のうちハズレの選択肢を明かします。そして、モンティは選択肢を選びなおしても良い、と言います。果たして、プレーヤーは選択肢を選びなおすべきでしょうか？

f:id:yayoi-tech:20200615134027j:plain — 選択を変えようが変えまいが確率は1/2のような気がするが…

選択肢は2つで、そのうち1つがアタリなのですから、どちらを選んでも確率は1/2であるというのが、直感です。しかし、正解は「選びなおしたほうが良い」というものでした。選択を変えない場合のアタリの確率は1/3なのに対して、選択を変える場合のアタリの確率は2/3だというのです。

この問題のやり取りは雑誌に掲載されたもので、大きな反響を得ました。正解の解説を聞いても、なお納得できないものも少なくなく、数学者すらも巻き込んだ、大きな議論に発展しました。

正確なルール

3つの選択肢のうち、アタリはひとつ
プレーヤーは、3つの選択肢から1つを選ぶ
モンティは、プレーヤーが選ばなかった残りの選択肢のうち、ハズレの選択肢を明かす
プレーヤーは選択肢を選びなおすことができる

解説

確率をルールに従って追ってみましょう。

f:id:yayoi-tech:20200615134328j:plain — 仮にAを選択したとする

まず、プレーヤーはAを選んだとしましょう。 Aがアタリである確率は1/3、Aがハズレである確率は2/3です。言い換えると、B、Cのどちらかがアタリである確率は2/3になります。つまり、この時点でプレーヤーは、アタリを選択するよりもハズレを選択する可能性のほうが高いということです。ここがもっとも重要なので、もう一度言います。B、Cのどちらかがアタリである確率は2/3です。

f:id:yayoi-tech:20200615134440j:plain — 仮にCがハズレだったとする

次に、モンティがハズレの選択肢を一つ選んで、Cがハズレであることを明かします。ここで重要なのは、モンティは必ず、プレーヤーが選んだ選択肢以外の選択肢からハズレを明かすことです。この例でいえば、プレーヤーが選択しているAではなく、B、C、いずれかの選択肢からハズレを明かすことになります。

f:id:yayoi-tech:20200615134650j:plain — Bがアタリである確率は1/2ではなく2/3

ここで、2つの選択肢から1つを選択するのだから、アタリの確率は1/2ではないか、という疑問がモンティ・ホール問題の最大の論点です。しかし、既に述べたように、Aがアタリである確率は1/3で、B、Cのいずれかがアタリである確率は2/3です。このうち、Cは既にハズレであることが明らかになっていますから、Bがアタリである確率は2/3になります。

従って、プレーヤーは常に選択肢を選びなおしたほうがアタリを選ぶ確率が高くなるのです。

ポイントは以下の2点です。

もし、プレーヤーが1回目の選択でハズレを選んだとしたら、2回目の選択では選択肢を変えると必ずアタリが出る（モンティが残りのハズレを明かしているため）
プレーヤーが1回目の選択でハズレを選ぶ確率（2/3）は、アタリを選ぶ確率（1/3）よりも高い

プレーヤーが最初に選んだ選択肢がアタリである確率は1/3だということが、もっとも重要な事実です。この1/3という確率は2回目の選択でも変わりません。何故なら、モンティは1回目の選択を元に、意図的にハズレを除外しているからです。 1回目と2回目の試行は独立していません。

選択肢を100個にして見ると、さらに極端な例を見ることができます。

f:id:yayoi-tech:20200615134957j:plain — 選択肢が多いほど、直感の誤謬に気付きやすいかも

1回目の選択でプレーヤーがアタリを選ぶ確率は1/100です。一方、選ばなかった選択肢の中にアタリがある確率は99/100です。プレーヤーが選ばなかった99個の選択肢のうち、モンティが98個のハズレを明かしたとしたら、残り1つの選択肢がアタリである確率は99/100です。モンティがたとえ1個のハズレしか明かさなかったとしても、それでも選択肢を選びなおしたほうが、アタリが出る確率はわずかに高いのです。

まとめ

以上を踏まえて、改めてルールを解釈してみると、次のようにとらえることができます。

1回目の選択は、アタリが入っている確率が高いグループと、低いグループに、分ける行為であること。結果的に、プレーヤーが選んだ1つの選択肢がアタリである確率は、それ以外の選択肢がアタリである確率よりも低い。
モンティがハズレを明かす行為は、アタリが入っている確率が高いグループから選択肢を間引く行為であること。結果的に、グループの確率は変わらないまま、グループの中の選択肢が減ることで、選択肢ひとつひとつがアタリである確率は高まる。

モンティ・ホール問題が、ジレンマやパラドックスと誤解されやすいのは、ルールに心理的なトリックが含まれているからです。ルールを正確に解釈することが、一番大事ですね。